45 minutes pour résoudre une équation dont la solution est triviale (sommes des coefficients égales aux seconds membres) :(x=1,y=1,w=1,z=1)Quel niveau les étudiants dans Heroes.

Nous étudions le déterminant de la matrice associée au système d'équations.On constate qu'on a les relations suivantes :L3 = L1 + L2L4 = 3*L1 - L2 - L3et les deux premières lignes sont indépendantes.Donc notre matrice est de rang 2, et donc notre ensemble de solutions est de dimension 2 : une origine et deux vecteurs.Notre origine est notre solution particulière : (1,1,1,1).Après on cherche les deux vecteurs comme solutions du système homogène associé (à seconds membres nuls donc).Et cela se ramène aux deux premières lignes :x + 2*y + 3*w + 4*z = 02*x - y + w - z = 0On remplace x dans la seconde équation par son expression tirée de la première, on obtient comme seconde équation :- 5*y - 5*w - 9*z = 0On propose d'abord y = 1, w = -1 et z = 0, à ce moment-là, x = 1.On a notre premier vecteur : (1,1,-1,0).On reprend ensuite en forçant une valeur non nulle pour z, histoire de s'assurer d'avoir deux vecteurs libres ; on propose par exemple y = 9, w = 0 et z = -5, ce qui donne x = 2.Notre second vecteur est donc : (2,9,0,-5).L'ensemble des solutions du système d'équations de base est par conséquent :(1,1,1,1) + k1*(1,1,-1,0) + k2*(2,9,0,-5) avec k1,k2 réels.