Nous étudions le déterminant de la matrice associée au système d'équations.
On constate qu'on a les relations suivantes :
L3 = L1 + L2
L4 = 3*L1 - L2 - L3
et les deux premières lignes sont indépendantes.
Donc notre matrice est de rang 2, et donc notre ensemble de solutions est de dimension 2 : une origine et deux vecteurs.

Notre origine est notre solution particulière : (1,1,1,1).

Après on cherche les deux vecteurs comme solutions du système homogène associé (à seconds membres nuls donc).

Et cela se ramène aux deux premières lignes :
x + 2*y + 3*w + 4*z = 0
2*x - y + w - z = 0

On remplace x dans la seconde équation par son expression tirée de la première, on obtient comme seconde équation :
- 5*y - 5*w - 9*z = 0

On propose d'abord y = 1, w = -1 et z = 0, à ce moment-là, x = 1.
On a notre premier vecteur : (1,1,-1,0).
On reprend ensuite en forçant une valeur non nulle pour z, histoire de s'assurer d'avoir deux vecteurs libres ; on propose par exemple y = 9, w = 0 et z = -5, ce qui donne x = 2.
Notre second vecteur est donc : (2,9,0,-5).

L'ensemble des solutions du système d'équations de base est par conséquent :

(1,1,1,1) + k1*(1,1,-1,0) + k2*(2,9,0,-5) avec k1,k2 réels.